Кривая дракона: фрактал из бумаги

О фракталах — самоподобных фигурах — «ПМ» писала в мартовском номере за этот год. В статье «Красота повтора» речь шла в основном о теории фракталов, в тексте даже мелькали формулы, что в нашем научно-популярном журнале событие весьма нечастое. Но на этот раз мы попробуем обойтись без математики и покажем, как к познанию тайны фракталов можно подойти с помощью небольшого эксперимента, для которого не потребуется ничего, кроме бумаги, ну и, может быть, ножниц.

Итак, возьмем кусок бумажной ленты (например, отрежем узкую полоску бумаги от длинной стороны листа А4) и начнем складывать пополам, потом еще раз пополам и еще. Чтобы получить более-менее наглядный результат, придется ограничиться четырьмя складываниями — лента наша слишком коротка. Да, и самое главное — складывать ее придется по определенному правилу: полоску сгибать всегда в одном и том же направлении. Этапы сгиба показаны на рис. 1 и 2.

Теперь разогнем ленту так, чтобы в местах сгибов образовался угол 90 градусов, и разложим ленту на столе. Вот перед нами и появился фрактал под названием «Кривая дракона». Если посмотреть на ленту сверху, мы увидим что-то вроде змейки из доисторических компьютерных игр, но на дракона созданное нами произведение явно не тянет. Откуда же взялось такое звучное имя? Оказывается, если бумагу продолжать сгибать, то с каждым шагом получающийся узор будет становиться все причудливее и причудливее. Например, после десятого сгиба у нас должно получиться то, что изображено на рисунке над заголовком статьи. Здесь сходство с драконами, как их рисовали в Древнем Китае, уже весьма очевидно. Конечно, созданием «Кривой дракона» управляет несложный алгоритм, так что построить этот фрактал на компьютере можно при помощи короткой программы. И когда компьютер «согнет» виртуальную ленту десятки и сотни раз, перед нами откроются настоящие красоты, изображения которых легко найти в интернете.

Но мы все-таки вернемся к бумаге. Количество сгибов можно, конечно, увеличить, взяв ленту подлиннее, а бумагу потоньше. Однако физические свойства материала при таком методе не позволят нам уйти далеко. Бумагу, как известно, сложить больше семи раз практически невозможно, к тому же отрезки ломаной линии при увеличении количества сгибов начнут получаться неравной длины, что испортит все эстетическое впечатление.

«Обхитрить» материал можно, изучив тот самый несложный алгоритм построения «Кривой дракона». А выглядит он так. Представим себе, что мы смотрим на нашу ленту сверху и она имеет для нас вид прямой линии. Пусть при первом сгибе мы сложим ленту влево. Тогда при следующем шаге лента будет складываться по правилу «левый поворот — левый поворот — правый поворот» (ЛЛП). Третья итерация — ЛЛПЛЛПП. Как теперь определить, что произойдет с лентой при четвертом сгибе? Правило простое, но запутаться очень легко, так что понадобятся терпение и внимательность. Итак, каждая следующая формула будет начинаться с предыдущей, дальше мы вставляем значение первого поворота (в нашем случае это «Л») и — теперь внимание! — снова добавляем формулу предыдущего шага, но, во-первых, переписываем ее задом наперед, а во-вторых, меняем в ней «П» на «Л» и «Л» на «П». Если все действия выполнены правильно, для четвертого сгиба получаем ЛЛПЛЛППЛЛЛППЛПП. Вычислить формулу хоть 5-го, хоть 12-го сгиба теперь совсем несложно... для компьютера. Человеку же главное — не запутаться. Однако, зная, как именно чередуются сгибы, можно обойтись без одновременного складывания всей ленты, а разметить ее на равные отрезки и обозначить направления поворотов. А можно построить «Кривую дракона» просто из отдельных кусочков ленты или разложив на полу или на столе продолговатые элементы какого-нибудь конструктора типа LEGO. Чем не тренировка на внимательность и пространственное воображение! Для наших читателей или их любимых чад школьного возраста.