Теория невероятности: парадокс Монти Холла или как выиграть автомобиль, участвуя в телешоу
Это телешоу вовсе не вымышленное, а вполне реальное, под названием Let's Make a Deal. В разных форматах оно крутилось более чем в двух десятках стран с 1963 года. Казалось бы, что может быть проще: три двери, одна машина (да какая — Cadillac!), пара коз, добряк ведущий, который открывает «пустую» дверь, увеличивая тем самым шансы на победу... Но будь оно все так просто, шоу не имело бы успех на протяжении 30 лет. И не назвали бы потом решение этой задачи парадоксом Монти Холла, в честь бессменного ведущего этого шоу. Это чертовски простая задача, не требующая каких-либо сложных методов и вычислений, но минимальное знание математики наличие логики будут очень кстати.
Итак, три двери. Одна ведет к призу, две другие — к разочарованию. Следовательно, вероятность того, что за любой из дверей находится автомобиль, равна ⅓. Это первая часть. Если бы задача Монти Холла заканчивалась только одним действием, выбором первой двери, это было бы очень скучно. По крайне мере ее вряд ли опубликовали бы в 1975 году в научном журнале The American Statistician. Большинство участников рассуждали интуитивно: после того, как ведущий открывал дверь, за которой нет приза, начиналась вторая часть игры. Большинство думало, что шансы на победу составляли уже ½, то есть 50%, так как самих не открытых дверей оставалось две, и менять в таком случае выбор вроде как бессмысленно. А вот и нет!
Хотя возможностей выбора действительно остается две, эти возможности (с учетом первой части) не являются равновероятными. Изначально все двери имели равные шансы быть выигрышными, но затем имели разные вероятности быть исключенными. Увы, но для большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации, и благодаря возникающему несоответствию между логическим выводом и ответом, к которому склоняет интуитивное мнение, задача и называется парадоксом.
Чтобы уехать из студии на новеньком «Кадиллаке» без изменения выбора, нужно было сразу угадать призовую дверь. Шансы такого исхода — ⅓, а вероятность уйти пешком — ⅔. Стало быть, настаивая на своем первоначальном выборе во второй части игры вероятность выигрыша остается на уровне ⅓, а при смене двери шансы вырастают вдвое!
Не верите? Вот еще одно объяснение. Давайте предположим, что дверей не три, а десяток. Или сотня. Да что уж мелочиться, пусть будет тысяча. Вы выбираете одну, затем ведущий открывает 998 за которыми точно нет автомобиля. Остаются опять две двери: которую выбрали вы, и которую оставил ведущий. Вероятность в первом действии попасть в призовую дверь — 1/1000, и она сохраняется, если вы упрямо не желаете менять свой выбор. То есть, шансы остаться с носом в таком случае составляют 999 из 1000. При таком раскладе становится более очевидным, что вероятности нахождения приза за оставшимися двумя дверьми различны, и не равны ½. Давайте еще раз: если не меняем выбор, то шансы равны 1/1000, если меняем — ⅔. Все просто.
