Существует ли сингулярность: от теории к фактам

Одна из наиболее распространенных сингулярностей связана с Черными дырами — загадочными областями пространства-времени, гравитационные аномалии которых привлекают к себе внимание ученых по всему миру. Теоретическая возможность существования подобных астрономических объектов, основанная на сингулярном решении сферически симметричной задачи общей теории относительности, обсуждается еще с начала прошлого века. Однако в связи с концепцией, согласно которой Черные дыры являются реально существующими объектами, сингулярность решения, из которого они следуют, связана с гораздо более общей проблемой — проблемой реальности сингулярных решений прикладных задач. Решению этой проблемы посвятил свою работу Валерий Витальевич Васильев — советский и российский ученый, академик РАН, специалист в области строительной механики, теории упругости и проектирования конструкций из композитных материалов.

Валерий Витальевич Васильев – российский ученый, академик РАН и специалист в области механики. На протяжении многих лет он изучает сингулярность решений прикладных задач, доказывая, что этот феномен – ни что иное как результат некорректности математической модели изучаемого явления или процесса. Попробуем разобраться в этом – существует ли сингулярность в реальности или она является формальным математическим результатом, не имеющим физического содержания.

Как известно, исследование реальных процессов и явлений всегда осуществляется в рамках их физических моделей, описываемых некоторыми уравнениями, образующими математическую модель. Эти модели соответствуют реальности лишь приближенно, поскольку исследователи традиционно не учитывают множество второстепенных факторов, значительно усложняющих анализ. Если при решении уравнений, описывающих математическую модель, не привлекается дополнительных упрощений, то получаемое решение считается точным. Однако это справедливо только в отношении модели и только в рамках традиционного математического анализа, допускающего возможность существования бесконечно малых и бесконечно больших величин. Последние и появляются в сингулярных решениях в так называемых точках сингулярности.

Сингулярность — это свойство функций обращаться в бесконечность в отдельных точках. В 1916 году немецкий астроном Карл Шварцшильд представил решение уравнений общей теории относительности для задачи о гравитации, создаваемой покоящимся шаром. В последующей интерпретации решения Шварцшильда была обнаружена поверхность в пространстве, на которой гравитация оказывается бесконечно большой, т.е. имеет место сингулярность иногда называемая сингулярностью Шварцшильда.

Следует обратить внимание на то, что большинство исследователей, по словам Валерия Васильева, придерживается умеренной трактовки сингулярности, согласно которой решение считается справедливым везде за исключением точки сингулярности, в которой оно не соответствует реальности. Именно такой интерпретации придерживался и создатель теории относительности Альберт Эйнштейн, с восторгом встретивший решение Шварцшильда. Великий физик полагал, что в окрестности точки сингулярности его теория не описывает гравитацию и, как следствие, применять ее в данном случае некорректно.

Академик Васильев отмечает, что с примерно с 60-х годов XX века ситуация в физике радикально изменилась: возобладало мнение, что сингулярность реально существует в природе. В результате этого были введены астрономические объекты, названные Черными дырами, обладающие бесконечно большой гравитацией. Согласно одной из современных интерпретаций решения задачи Шварцшильда, Черная дыра — это сферическая область пространства, в центре которой сосредоточена масса и где решение сингулярно. Эта центральная точка окружена сферой, радиус которой r_g зависит от массы — это так называемый радиус горизонта событий Черной дыры. Если наблюдатель каким-то образом проникнет за грань горизонта событий, дальнейшее движение будет возможно только к центру. Обратное движение невозможно даже для света и Черная дыра невидима.

Однако, поскольку сосредоточение массы в точке (в абстрактном, сугубо математическом объекте) представляется нереалистичным, возможна и другая концепция, согласно которой в центре гипотетической Черной дыры находится шар. Согласно решению задачи Шварцшильда для шара, состоящего из идеальной жидкости, в центре этого шара сингулярность отсутствует — она смещается на поверхность шара R = r_g и, как следствие, гравитация на этой поверхности становится бесконечно большой. Благодаря этому Черная дыра становится невидимой: гравитация так велика, что вторая космическая скорость на поверхности шара становится равной скорости света и фотоны не могут покинуть эту поверхность.

Валерий Васильев отмечает, что в настоящее время основное внимание уделяется «внешней задаче Шварцшильда» для окружающего шар пространства и практически не обсуждается «внутренняя задача» для области внутри шара. Однако для получения полного решения необходимо решить обе эти задачи и удовлетворить граничные условия на поверхности шара. Существенно, что в общем случае система уравнений, предложенных Эйнштейном, отличается не только сложностью, но и отсутствием полной взаимной независимости — независимы друг от друга лишь 6 из 10 уравнений, включающих 10 неизвестных функций. Остальные 4 уравнения пока остаются неизвестными, несмотря на многочисленные попытки выдающихся ученых получить их. Таким образом, неизвестных в системе больше, чем уравнений — система Эйнштейна осталась незавершенной. Для получения решения задачи о шаре неполная система исходных уравнений Эйнштейна (их в этом случае три, но взаимно независимыми являются только два, включающие три неизвестных функции) должна быть дополнена еще одним уравнением. В настоящее время это дополнение осуществляется таким образом, что внешнее решение, являющееся сингулярным, получается независимо от внутреннего решения. Но этого не должно быть – внешнее решение должно сшиваться с внутренним на поверхности шара. Если продолжить анализ и построить внутреннее решение, то можно обнаружить, что при введенном дополнительном уравнении граничное условие на поверхности шара не выполняется. Это условие можно изменить так, чтобы граничное условие выполнялось. Но тогда решение не является сингулярным и определяет не Черные дыры, а так называемые Темные звезды, теоретически открытые в конце 18 века Джоном Мичеллом и Пьером-Симоном Лапласом. Они также невидимы, но не обладают всепоглощающей сингулярностью и их гравитация описывается уравнениями общей теории относительности.

Большое количество сингулярных решений известно в механике твердого деформируемого тела. Например, в задаче об изгибе круглой мембраны (пленки, натянутой на барабан) силой, приложенной в центре, прогиб мембраны в центре оказывается бесконечно большим. Несоответствие с реальностью связано с неадекватностью традиционной физической модели мембраны, согласно которой она не обладает изгибной жесткостью. Если эту жесткость учесть, сингулярность исчезает и решение полностью согласуется с экспериментом.

В задаче о растяжении пластины с трещиной существующее решение дает на концах трещины бесконечно большие напряжения при сколь угодно малой нагрузке, действующей на пластину. Теоретически хрупкие тела с трещинами существовать не могут, однако это не так – оконное стекло с трещиной может служить долго. Для преодоления этого противоречия построена специальная наука – механика хрупкого разрушения, которой посвящена обширная литература. Однако дело оказалось не в теории, а в математической модели сплошной среды, основанной на классическом дифференциальном исчислении, допускающим существование бесконечно малых и бесконечно больших величин. Если построить его модификацию, не допускающую существование бесконечно малых и больших, величин, то такая модель сплошной среды исключает появление сингулярных решений и приводит к результатам, хорошо согласующимся с экспериментальными.

Подводя итог, следует отметить, что в свете всего вышесказанного само существование сингулярности в реальном мире видится академику Васильеву нереалистичным. Он объясняет интерес к сингулярным решениям кажущейся математической строгостью и совершенством — но математика, основанная законах логики, увы, не всегда соответствует действительности, и для науки гораздо важнее полагаться на истину, критерием которой в прикладных задачах является эксперимент.

C полной версией доказательства академика Васильева можно ознакомиться на сайте. Там же вы сможете поучаствовать в научной дискуссии.