Первоначально выражение «фирма веников не вяжет» означало, что компания или организация не выполняет свои обязательства или не может решить проблемы. При этом, слово «вязать» в данном контексте имеет значение «связывать» или «разрешать». Изначально веник символизировал связывание или разрешение проблем, а компания, которая не вязала веников, не могла справиться с ними.
Если «фирма веников не вяжет», то чем же она тогда занимается?

Но со временем устойчивое выражение стало употребляться в более смешном контексте и приобрело позитивный оттенок.
Продолжение следует...
А вы знали что у поговорки есть продолжение, и не одно:
Фирма веников не вяжет, а если вяжет, то только фирменные.
Фирма веников не вяжет, фирма — валенки плетет.
Несмотря на разнообразие второй части, чаще всего в разговоре используется только первая часть этой поговорки: «фирма веников не вяжет».
А весь смысл сводится к тому, что фирма, о которой говорят, что она не вяжет веники, не занимается пустяковыми делами и за качество своей работы ручается.
Также фразу часто употребляют в ситуации, когда хотят успокоить человека, дать ему понять, что нет поводов для беспокойства — задание будет выполнено качественно и в срок.
Про поговорку так же вспоминают люди, которые хотят похвастаться своими умениями и навыками, чтобы подчеркнуть, что они не намерены опускаться ниже определенного уровня.
А автор кто?

А кто его знает, лингвисты до сих пор не могут сойтись во мнениях: то ли выражение «фирма веников не вяжет» — это жаргонное выражение, то ли фразеологизм, а может вообще пословица. Давайте назовем его поговоркой и попробуем найти первоисточник.
Многие люди ошибочно полагают, что выражение «фирма веников не вяжет» появилось из романа про Остапа Бендера. Но у Ильфа с Петровым нет этой фразы ни в «Двенадцати стульях», ни в «Теленке».
Вот и получается, что пик популярности поговорки начался в 1960-х годах ХХ века благодаря бабке из популярного анекдота.
Видит бабушка вывеску фирмы с названием «Вен к», на которой предпоследняя буква отвалилась. Старушка спрашивает: «Веники почем продаете?» В ответ слышит: «Фирма веников не вяжет — фирма делает гробы!»
Оказывается, что на вывеске отсутствует буква «о», а не та, на которую подумала бабуля — не «и».