«Тихой сапой» — именно так: исподтишка, скрытно, незаметно, крадучись, передвигались военные.
Олени знают, как правильно: «тихой сапой» или «тихим сапом»? А вы?

Правильно не «тихим сапом», а «тихой сапой»!
Слово «сапа» пришло в русский язык из французского, где «sape» — это траншея, подкоп. Чтобы незаметно проникнуть в тыл врага, военные рыли подземный проход под стены вражеской крепости. Инструмент в их руках для земляных работ назывался «sape». В свою очередь, французы заимствовали это слово из итальянского языка: «zappa», которое переводится, как «заступ, мотыга». А сам процесс подкопа называли «saper», то есть «сапа».

Сапы применялись в XVI-XIX веках. Существовали два варианта возведения таких траншей: летучая сапа, которая производилась с поверхности земли под прикрытием защитной насыпи, и перекидная (тихая, скрытная) — со дна исходного рва или траншеи, без выхода работающих на поверхность.
А копали такие траншеи военные инженеры, которых вскоре прозвали «саперами». И к взрывному делу они никакого отношения тогда не имели (порох был изобретен гораздо позднее). Их обязанности расширились только с 1884 года, когда им также стали поручать закладывание бомб под фундаменты разных строений.
В русском языке слово «сапер» было заимствовано из французского языка в первой половине XIX века и активно используется в русской речи по сей день, правда, ассоциируют сапера исключительно с разминированием и обезвреживанием всевозможных взрывных устройств.
Выражение «тихой сапой» на протяжении долгого времени использовали лишь военные. И означало оно прокладывание тайного прохода или туннеля. Но профессиональный термин полюбился и простому народу, который стал активно употреблять его в просторечии, слегка изменив его истинное значение. Теперь, согласно Большому словарю русских поговорок, эта идиома означает «действовать, добиваться чего-либо исподтишка, скрытно, незаметно».