Слово «комплимент» не нуждается в представлении. Оно пришло к нам из французского языка, где «compliment» — это приветствие, поздравление, лестный отзыв. Но почему слово «комплимент» стало использоваться для выражения почтения? Французское «compliment» связано с переходным глаголом «accomplir» (исполнять, совершать, выполнять), который, в свою очередь, происходит от латинского «compleō». Вот и получается, что «комплимент» — это делать приятное словами.
«КомплЕмент» и «комплИмент» — с виду одинаковые, но на самом деле между ними нет ничего общего

Комплимент
Комплемент
Если с комплиментом все понятно, это слово знакомо и приятно всем нам, то «комплемент» очень часто принимают за ошибку. Хотя, на самом деле, оно изобилует значениями в разных сферах его употребления:
это специальный термин из физиологии, обозначающий белковое вещество, которое содержится в сыворотке крови
это и комплемент множества из математики
и комплемент как сложное понятие генеративной лингвистики
это комплементарные блага (товары, которые дополняют друг друга: подушка и одеяло, монитор и клавиатура) из сферы экономики
и система комплемента в химии
В русский язык слово «комплемент» пришло к нам напрямую из латыни — «complementum» [compleō] и сохранило свое основное значение латинского «complementum» — «дополнение».
Как мы видим, оба слова имеют в своих истоках основу «compleō», однако ввиду различных обстоятельств они разошлись в написании и получили разные лексические значения.
Но им суждено было встретититься

И не где попало, а именно за столиком в ресторане, когда посетителям принесли в качестве подарка небольшое угощение от повара. Французы называли его «комплИментом». Этот приятный бонус во Франции всегда подается с комплиментом, то есть с уважением и приятными словами от шефа.
В России же вам предложат именно «комплЕмент от шеф-повара», то есть дополнение к основному заказу. Даже если официант и произнесет какие-то слова, то все равно объектом является непосредственно дополнительное блюдо.
Вот и получаетися, что французы получают от повара приятные слова + угощение, а русские — дополнение к заказу.