Математики показали, что абстрактные принципы, описывающие ветвление деревьев в природе, применимы и к деревьям, изображенным в искусстве, и даже могут лежать в основе нашей способности распознавать на картинах деревья.
Ученые сравнили рисунок ветвей в природе и искусстве от да Винчи до Мондриана
Математики показали, что абстрактные принципы, описывающие ветвление деревьев в природе, применимы и к деревьям, изображенным в искусстве, и лежат в основе нашей способности распознавать на картинах деревья.
Цветущая яблоня. Пит Мондриан, 1912. Kunstmuseum Den Haag. Здесь нарушен принцип природного ветвления деревьев, и мы дерево уже не узнаем.
Главный принцип ветвления деревьев описал еще Леонардо да Винчи. Он не знал о фрактальных формах, но хорошо понимал их смысл.
Деревья представляют собой слабо фрактальные ветвящиеся формы, которые повторяют одни и те же узоры на все более мелких масштабах от ствола до кончиков ветвей. Математики Цзиньи Гао и Митчелл Ньюберри изучают масштабирование толщины ветвей на изображениях деревьев и выводят математические правила для пропорций между диаметрами ветвей и для приблизительного количества ветвей разного диаметра. Работа опубликована в журнале PNAS Nexus.
Фрактальный коэффициент, открытый Леонардо да Винчи
Эскиз дерева, сделанный Леонардо да Винчи, иллюстрирует принцип, согласно которому на разных стадиях разветвления сохраняется общая толщина. I
Авторы начинают с наблюдения Леонардо да Винчи о том, что суммарная толщина ветвей деревьев остается постоянной по мере ветвления. Параметр α, известный как экспонента масштабирования радиуса при самоподобном ветвлении, определяет соотношения между диаметрами ветвей.
Если толщина ветки всегда равна сумме толщины двух меньших ветвей, как утверждает да Винчи, то параметр α будет равен 2.
Объединенная площадь поперчного сечения (πr2 ) сохраняется при ветвлении. Дерево справа использует такие разрезы для подсчета количества ветвей n с радиусом около r, чтобы вывести фрактальное масштабное соотношение.
Авторы исследовали деревья в искусстве, и обнаружили значения от α от 1,5 до 2,8, что соответствует диапазону естественных деревьев.
Три дерева, сгенерированные одним и тем же случайным алгоритмом, отличаются только значением α, используемым для вычисления диаметра ветвей. Алгоритм прекращает добавлять ветви, когда радиус достигает примерно 1/10 диаметра ствола, при больших значениях α ветвей становится экспоненциально больше.
Даже абстрактные произведения искусства, в которых визуально не видны соединения ветвей, напоминающие деревья, такие как абстрактное «Серое дерево» Пита Мондриана, визуально идентифицируются как деревья, если использовать реалистичное значение α. В отличие от этого, более поздняя картина Мондриана «Цветущая яблоня», в которой нарушено реалистическое масштабирование диаметра ветвей, не распознается как дерево.
Серое дерево, Пит Мондриан. 1911.
По мнению авторов, искусство и наука дают взаимодополняющие точки зрения на мир природы и человека.